問.正十二角形の面積を求めなさい

学習のお話
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なまはげおじさんです、こんにちは。

君津のさくら塾のブログへようこそ。

今日は中3生向け、図形の問題を考えますよ。なお、画像を多用しておりますので、パソコンなど大きな画面のほうが見やすいかもしれません。
 
 
 

対称性、特別な角

本日の問題はコチラ。
 

問.1辺2cmの正十二角形の面積を求めなさい。

 
受験生のみなさんには、ノートやルーズリーフに正十二角形をササッとかいて、ぜひ挑戦していただきたい。

できるかな???
 
 
 
 
 

それでは、解いてみましょう。

正十二角形に対角線を引くとこうなります。
 

 
合同な三角形が、12個できるわけです。

この対称性に気づけるかどうか、これが大きなポイントですよ。
 
 

ここからは、1つの三角形のみ注目していきます。

その面積が求められたら、それを12倍すれば答えになるからです。

こういう考え方を、対称性の利用といいます。
 
 
 
360°÷12 で、30°の角を持つ三角形であることはすぐにわかりますよね。
 

 
また、これが二等辺三角形であることにも、すぐに気づけるはず。

その1辺の長さを、xcmとします。
 
 
 

書き込んでみましょう。
 

 
この頂角30°の二等辺三角形の面積をxで表して、それを12倍するのです。
 

さて、どうすればいいでしょうか。
 
 
 
 
 

受験生のみなさんは、30°の三角形といえば、即座に三角定規を連想できなければなりません。

1:2:√3 のアレです。
 
 
 

そうです、補助線を加えるのです。
 

 
ノーヒントでこの補助線をかけた人は、自分で自分を褒めてあげてください。

素晴らしいですぞ。
 

ここからどうずればいいか、わかりますよね。
 
 
 

補助線の長さを求めるんです。

1:2:√3 を使って。
 

 
よっしゃ、これで二等辺三角形の面積を、xで表すことができます。

それを12倍すれば、まさに答えです!
 
 
 

こうなります。

 
あとは、xの長さを求めるだけ。

左の直角三角形に三平方の定理を使ってもできますが、計算が高校生レベルになってしまいます。工夫次第でさばけないことはないのですが、かなりタイヘンです。
 

そこで今日は、さくらっ子が教えてくれたxの長さを求める方法をご紹介します。

特別な角に注目していくのです。
 

 
頂角30°ということは、底角は75°。

この75という数字を、特別な角に分けちゃう、という工夫をしていました。

75=●+▲、ということです。

わかるかな???
 
 
 

コチラです。
 

 
なるほど、こうすると、45°定規型が現れるんですね。
 
 

工夫はまだ続きます。

補助線を延長するのです。

コチラ。
 

 
うーむ。

1辺2cmという条件に、1:1:√2 や1:2:√3 を適用することができますぞ。

さっそくやってみましょう。
 
 
 

すると、こうなるはず。
 

 
さあ、ここでさらにもうひと工夫。

上の図に、補助線を加えると、また三角定規の三角形が現れます。

どこに引くでしょうか???
 
 
 

ココです。
 

 
60°定規型が出てきましたよ!

1:2:√3 ですよ!
 
 
 

わかることはコチラ。
 

 
xの長さがわかるところまで、あと一歩。

もう気づいている人も少なくないはず。
 
 
 

コレですね。
 

 
2つの直角三角形は合同なので、xの長さは単純に2倍すれば求められるわけです。
 
 
 

こうなります。
 

 
出ましたー!

 x=√6+√2

これを代入すれば、とうとう答えがわかります!
 
 
 

はい、コチラ!
 

 
1辺2cmの正十二角形の面積は、24+6√3 cm2 。
 
 
 

正十二角形の対称性を利用して、頂角30°の二等辺三角形に注目し、そして特別な角を活かすための工夫をしていく。

こう見てくると、中学数学の基本的な考え方が身についているかを問うている問題、ということがわかります。
 
 
 

図形の対称性の利用、
特別な角の利用、

これは入試本番でもあなたを助けることでしょう。
 
 
 
 
 

以上、求積問題のお話でした。

それでは今日はこのあたりで失礼します。どうぞ健やかな一日をお過ごしください。
 
 
 

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