こんにちは、なまはげおじさんです。
君津のさくら塾のブログへようこそ。
今日は中３生向けのお話、リライトです。
ちょっと濃いめの数学のお話
まず、「線分の比と平行線」の学習を終えた人向けに出題します。数学大好きなあなた、ぜひ挑戦してみてください。
自分なりの答えが出た人は、スクロールしてみてください。
答えは、39：28 です。
合ってましたか？
「平行線を利用して相似な三角形を見つける」ことを意識すると、
補助線をひけばいいのでは？
という発想にたどり着くはず。
例えばこう。
ＡＢ // ＧＥ となるように点ＧをＣＤ上にとるんです。
すると、相似な三角形のペアが、２組見つかるはず。
こちら解答例です。
補助線をどこにひくのか、
それが難しいんですよね、コレ。
実は、まったく補助線をひかない解き方もあります。
解答例、その２。
この途中式は『ひと筆書きの定理』によるもの。
高校数学で学ぶ「メネラウスの定理」のことですが、さくら塾では覚えやすいのでこう呼んでいます。
『ひと筆書きの定理』とは？
『ひと筆書きの定理』とは、下図のようなキツネ型の図に対して使えるものです。
キツネ型の「耳」にあたる頂点がスタート、と覚えてください。
この図では、頂点Ａか頂点Ｃから始めるわけです。
こんな感じ。
このとき、次のような関係式が成り立ちます。
最初の問題に戻って再挑戦してみてください。どうですか、ビックリするくらいカンタンに解けちゃうでしょ？
『ひと筆書きの定理』の証明
なぜ『一筆書きの定理』が成り立つのか？
そんな疑問を抱いてしまったあなた、数学のセンスがキラキラしてますよ！
……実はこれ、中学数学の知識でも十分証明できちゃうんです。
情熱あふれるあなたへ、
証明の方針と、
最初のカギについて、
それぞれアドバイスしますね。
証明の方針
まず、方針について。
平行線を利用して相似な三角形を見つける。
「平行線を利用して相似な三角形を見つける」というのが、この単元の裏テーマ。
でも、この図のままでは、平行線も、相似な三角形もありませんね。
ということは……？
……そう、補助線を引くんです！
それも、何かと平行な補助線を。
どこに補助線を引くべきか
証明するための最初のカギは、
どこに
どのような
補助線を引くかです。
いろいろな方法があります。
一例を紹介しますね。
こんな補助線を引いてみてください。
さっきと同じです笑
上図を見て、相似な三角形のペアが見つかりますか？
２ペアありますよね。
見つかりましたか？
△ＣＧＥ∽△ＣＤＢ、
△ＡＤＦ∽△ＥＧＦ、
この２ペアです。
これらを使って比例式をつくり、整理して、下の式に代入。
すると、うまいこと文字がバンバン約分されて笑、気がつけば 1 になります。
証明終了。
ただし、途中の計算式はちょっと大変、気合い入れて頑張ってください。
以上、濃いめの数学のお話でした。
それでは今日はこのあたりで失礼します。どうぞ健やかな一日をお過ごしください。
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